പൈതഗോറസും ഐൻസ്റ്റൈനും

ഗണിതത്തിൽ അതിപ്രശസ്തമാണ് പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം. യൂക്ലീഡിയൻ ജ്യാമിതിയിൽ മട്ടത്രികോണ(right triangle)ത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തമാണത്.‍ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കർണ(hypotenuse)ത്തിന്റെ വർഗം പാദ (base)ത്തിന്റെയും ലംബ(altitude)ത്തിന്റെയും വർഗത്തിന്റെ തുകയ്ക്ക് തുല്യ മായിരിക്കും എന്നതാണ് പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം. കർണം cയും പാദം aയും ലംബം bയും ആയാൽ സിദ്ധാന്തം a2+b2=c2 സമവാക്യമാകും.

ഐൻസ്റ്റൈന്റെ തെളിവ്
സ്കൂൾ വിദ്യാർഥിയായിരുന്നപ്പോൾ പന്ത്രണ്ടാം വയസ്സിൽ ഐൻസ്റ്റൈന് ഒരു ജ്യാമിതി പുസ്തകം കിട്ടി. ജ്യാമിതിയുടെ പവിത്രമായ ചെറുപുസ്തം (sacred little geometry book) എന്നാണ് അദ്ദേഹം അതിനെ വിശേഷിപ്പിച്ചത്. പുസ്തകത്തിന്റെ സ്വയം പഠനം പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തത്തിന് സ്വന്തം തെളിവ് (proof) കണ്ടെത്താൻ ഇടയാക്കി. ആധുനിക ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിന് അടിസ്ഥാനമായ അദ്ദേഹത്തിന്റെ ആപേക്ഷികതാ സിദ്ധാന്തത്തിലും പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തമുണ്ട്. E=mc2ൽ എത്താൻ അദ്ദേഹത്തെ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തവും സഹായിച്ചു.

കുട്ടിയായിരുന്നപ്പോൾ ഐൻസ്റ്റൈൻ തയാറാക്കിയ തെളിവ് ലഭ്യമല്ല. സദൃശത്രികോണ (similar triangles) ങ്ങളുടെ പ്രത്യേകതയാണ് അദ്ദേഹം തെളിവിന് അടിസ്ഥാനമാക്കിയത്.

അന്തർലിഖിത സമഭുജവും പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തവും 
അന്തർലിഖിത സമഭുജ (inscribed square) ങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ കഴിയും. ചിത്രം 1 നോക്കുക. ചിത്രത്തിൽ രണ്ട് സമഭുജങ്ങളുണ്ട്. ചെറുത് വലുതിനുളളിൽ. വലുതിന്റെ ഒരു വശം a+bയും ചെറുതിന്റേത് cയുമാണ്.

ചിത്രത്തിൽ നാല് മട്ടത്രികോണങ്ങളുണ്ട്. അവയുടെ പാദം a യും ലംബം bയും കർണം c യുമാണ്. ഓരോന്നിന്റെയും വിസ്തീർണം 1/2ab ആണ്. വലിയ സമഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണം (a+b)2. ചെറുതിന്റേത് c2.

വലിയ സമഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണം ചെറിയ സമഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണവും നാല് മട്ടത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണവും കൂട്ടുന്നതാണ്. അതായത് (a+b)2 = c2+2ab. ഇത് പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തമായ a2+b2= c2 ആണ്.

പൈതഗോറസ്
‍പുരാതന ഗ്രീസിൽ ജീവിച്ചിരുന്നതായി കരുതുന്ന ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞനും ബഹുമുഖ പ്രതിഭയുമാണ് പൈതഗോറസ്. പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം അദ്ദേഹത്തിന് മുൻപ് ഉണ്ടായിരുന്നു. അത് രേഖപ്പെടുത്തി തെളിവ് തയാറാക്കിയതിനാലാണ് സിദ്ധാന്തം അദ്ദേഹത്തിന്റെ പേരിൽ അറിയപ്പെടുന്നത്.

ബൗദ്ധായന ശൂൽബ സൂത്രം 
പൈതഗോറസിനും മുൻപ് പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് അറിയാമായിരുന്നു. ബിസി 1200ലെ ബൗദ്ധായന ശൂൽബ സൂത്രത്തിലെ ‘ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വികർണം ഉളവാക്കുന്ന വിസ്തീർണം അതിന്റെ സമീപവശവും എതിർവശവും ഉളവാക്കുന്ന ചതുരശ്രങ്ങളുടെ വിസ്തീർണങ്ങളുടെ തുകയോട് തുല്യമാണെന്നത്’ ഇപ്പോഴത്തെ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തമാണ്.

371 തെളിവുകൾ 
1927ൽ അമേരിക്കയിൽ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തത്തിന് 230തെളിവുകൾ ഉൾപ്പെടുത്തി പുസ്തകം -പൈതഗോറിയൻ പ്രമേയം (The Pythagorean Proposition) പ്രസിദ്ധീകരിച്ചിരുന്നു. ഒഹായോയിലെ ക്ലീവ്‌ലൻഡിലെ ഗണിതാധ്യാപകൻ എലിഷ സ്കോട്ട് ലൂമിസ് (Elisha Scott Loomis) ആണ് പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത്. 1940ൽ പുസ്തകത്തിന്റെ രണ്ടാം പതിപ്പിൽ‍ തെളിവുകൾ 371ആയി. 

സദൃശത്രികോണവും പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തവും 
ഐൻസ്റ്റൈൻ ആധാരമാക്കിയ സദൃശത്രികോണങ്ങൾ കൊണ്ട് പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ നമുക്ക് ഒന്നു നോക്കിയാലോ? 

രൂപം (shape) സമാനവും വലുപ്പം (size) വ്യത്യസ്തവുമായവയാണ് സദൃശത്രികോണങ്ങൾ. ഇവയുടെ സമാനകോണളവ് തുല്യവും സമാനവശങ്ങളുടെ അളവ് ആനുപാതിക(proportional)വുമായിരിക്കും. 

ഈ പ്രത്യേകത അടിസ്ഥാനമാക്കി ചിത്രം 2ലെ മട്ടത്രികോണത്തിന് ABCഎന്നും ലംബത്തിന് BDഎന്നും പേര് നൽകി സദൃശത്രികോണങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് അവയുടെ സമാനവശങ്ങളുടെ അനുപാതം (ratio)എടുത്ത് പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തത്തിന് തെളിവ് കണ്ടെത്താൻ കൂട്ടുകാർ ശ്രമിച്ച് നോക്കൂ.