ചില വിശിഷ്ട ബിന്ദുക്കളുടെ പ്രത്യേകതകൾ

ഏറ്റവും ചെറിയ ഗണിതരൂപമാണ് ബിന്ദു എന്നു കൂട്ടുകാർക്ക് അറിയാമല്ലോ. മറ്റേതൊരു  ഗണിതരൂപവും വരകളാലും (Line)  പ്രതലങ്ങളാലും(Plane) ഇടങ്ങളാലും(Space) നിറഞ്ഞതാണ്. ഇവയാകട്ടെ ബിന്ദുക്കളാൽ നിറഞ്ഞതും. ത്രികോണം തന്നെ 3 ബിന്ദുക്കളെ പരസ്പരം നേർവരകളാൽ യോജിപ്പിച്ചതല്ലേ? ഈ വരകളെയാണ് നാം വശങ്ങളെന്ന് പറയുന്നത്. ബിന്ദുക്കളെ ശീർഷങ്ങളെന്നും. ഇന്നു നാം ത്രികോണങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ചില വിശിഷ്ട ബിന്ദുക്കളുടെ പ്രത്യേകതകൾ പഠിക്കാം.

ത്രികോണമധ്യം (Centroid)
ഏതെങ്കിലും ഒരു വശം എടുക്കുക. അതിന്റെ മധ്യബിന്ദു കാണുക (Eg: P). ഇതിനെ ഈ വശത്തിന്റെ എതിർ ശീർഷവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുക (Eg: AP). ഇതിനെയാണ് നാം നടുവര (Median) എന്ന് പറയുന്നത്. ഇത് പോലെ ബാക്കി 2 വശങ്ങളിലേക്കും നടുവരകൾ വരക്കാം. അപ്പോൾ ഒരു കാര്യം കാണാം. 3 വരകളും ഒരേ ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്ന് പോകുന്നു. ഈ ബിന്ദുവിനെ ത്രികോണമധ്യം (Centroid)എന്ന് പറയുന്നു. മാത്രമല്ല ഓരോ വരയും 2 ഭാഗങ്ങളായി മുറിയുന്നത് 2:1 എന്ന ഒരേ അംശബന്ധത്തിലാണ് എന്ന് അളന്ന് നോക്കിയാൽ കാണാം. അതായത് ഒരു ഭാഗത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാണ് മറുഭാഗം. (Eg: AG : GP = 2:1). നടുവര വരയ്ക്കുന്നതിലൂടെ ഒരു ത്രികോണത്തിനെ എങ്ങനെ ഒരേ പരപ്പളവുള്ള 3 ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കാം എന്നും ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ ബിന്ദുവിന്  മറ്റൊരു പ്രാധാന്യമുണ്ട്. കട്ടിക്കടലാസിലോ ലോഹത്തകിടിലോ എന്തിലോ ആകട്ടെ ഒരു ത്രികോണരൂപം ഉണ്ടാക്കിയാൽ അതിനെ ഈ ബിന്ദു കേന്ദ്രമാക്കി ഒരു സൂചി തുമ്പിൽ ബാലൻസ് ചെയ്ത് നിർത്താം. ആയതിനാൽത്തന്നെ ഇതിനെ ഭൗതികശാസ്ത്രപരമായി മദ്ധ്യസ്ഥിതി കേന്ദ്രം (Centre of mass) എന്ന് പറയുന്നു. 

പരിവൃത്തകേന്ദ്രം (Circum centre)

ത്രികോണങ്ങൾ കഴിഞ്ഞാൽ നമുക്ക് ഏറ്റവും പരിചിത രൂപമാണ് വൃത്തം. 3 ബിന്ദുക്കളുണ്ടെങ്കിൽ അവിടെ ഒരു വൃത്തമുണ്ടാക്കാം. എങ്കിൽ പിന്നെ ത്രികോണത്തിന്റെ ശീർഷങ്ങളിൽ കൂടി കടന്ന് പോകുന്ന വൃത്തം വരച്ചുകൂടെ? ഇതിനെയാണ് നാം പരിവൃത്തം (Circumcircle) എന്ന് പറയുന്നത്. അതിന് ഒരു കേന്ദ്രം വേണം. അതിനാണെങ്കിൽ വശങ്ങളുടെ മധ്യലംബങ്ങൾ (perpendicular bisectors) വരയ്ക്കണം. അപ്പോൾ കാണാം മറ്റൊരു വസ്തുത. ഇവയെല്ലാം ഒരേ ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നു പോകുന്നു. ഇതു തന്നെയാണ് പരിവൃത്തകേന്ദ്രം (Circumcentre). പരിവൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് ത്രികോണത്തിന്റെ 3 മൂലകളിലേക്കും തുല്യ ദൂരമായിരിക്കും എന്നതാണ് അതിന്റെ പ്രത്യേകത. എന്നു മാത്രമല്ല , മട്ടത്രികോണമാണെങ്കിൽ അത് കർണ്ണത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദു ആയിരിക്കും. ( Mid point of hypotenuse).ഇനി മട്ടകോണിനേക്കാൾ വലിയ കോൺ ഉള്ള ത്രികോണമാണെങ്കിൽ ത്രികോണത്തിന് പുറത്തായിരിക്കും പരിവൃത്തകേന്ദ്രം നിലകൊള്ളുക. ഇതെല്ലാം കണ്ടാസ്വദിക്കണമെങ്കിൽ ഒന്നു വരച്ചു നോക്കുക.

അന്തർവൃത്തകേന്ദ്രം (in centre)

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളെ തൊട്ടുകൊണ്ട് കടന്നgപോകുന്ന ഒരു വൃത്തത്തെ സങ്കൽപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടോ ? അതിനെയാണ് അന്തർവൃത്തം എന്ന് പറയുന്നത്. ഇതിന് ഓരോ കോണുകളുടെയും സമഭാജികൾ (Angle bisectors) വരയ്ക്കണം. ഇവയെല്ലാം ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെത്തന്നെ കടന്നു പോകും എന്നതാണ് കൗതുകകരം. നാം ഊഹിക്കുന്നത് പോലെ ഈ ബിന്ദു തന്നെയാണ്  അന്തർവൃത്ത കേന്ദ്രം (In-centre). അന്തർവൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് ത്രികോണത്തിന്റെ 3 വശങ്ങളിലേക്കും തുല്യ ദൂരമായിരിക്കും. അന്തർവൃത്തകേന്ദ്രവും പരിവൃത്തകേന്ദ്രവും ഒന്നായിട്ടുള്ള ത്രികോണമാണ് സമഭുജത്രികോണം. സത്യത്തിൽ എല്ലാ സമബഹുഭുജങ്ങൾക്കും ഈ പ്രത്യേകതയുണ്ട്.

മധ്യബിന്ദുക്കൾ കൊണ്ടൊരു സാമാന്തരികംഏതൊരു ബഹുഭുജമാണങ്കിലും , അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ ക്രമത്തിൽ യോജിപ്പിച്ചാൽ കിട്ടുന്നത് ഒരു സാമാന്തരികമായിരിക്കും. വിശ്വാസമില്ലെങ്കിൽ വരച്ചുനോക്കൂ.  ഏതു തത്വമാണ് ഇവിടെ പ്രവർത്തിച്ചത് പറയട്ടെ ? ഏതൊരു ത്രികോണത്തിന്റെയും രണ്ടു വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന വര മൂന്നാമത്തെ വശത്തിനു സമാന്തരമായിരിക്കും. ഇവിടെ ചതുർഭുജത്തിന്റെ വികർണ്ണങ്ങളാണ് ത്രികോണങ്ങളുടെ മൂന്നാം വശമായി എടുത്തത്. അങ്ങിനെയെങ്കിൽ  ACക്ക് സമാന്തരമാണ് SR ഉം, PQ ഉം. ഇതുപോലെ BDക്ക് സമാന്തരമാണ് SP യും , RQ യും എന്നും കാണാം. ഗണിതതത്വങ്ങൾ ഒരേ സമയം മനോഹരവും കൗതുകകരവുമാണെന്ന്  പറയേണ്ടതില്ലല്ലോ ?

Content Summary : Dots in Mathematics